Чистых металлов и модель твердых шаров

Проще всего оказалось расшифровать структуру чистых металлов. Практически все они имеют одну из трех кристаллических решеток: объем – ноцентрированиую кубическую (ОЦК), гранецентри – рованную кубическую (ГЦК) или гексагональную плотноупакованную (ГПУ).

Td

Л

ГЦК ГПУ

Рис. 47

На рис. 47 изображены элементарные ячейки этих решеток. Они поясняют названия. У ОЦК решетки элементарная ячейка кубическая с дополнительным атомом в центре. У ГЦК — дополнительные атомы в центре граней элементарного кубика. А ГПУ оешетка представляет собой гексагон, «уплотненный» допол­нительными атомами внутри.

Встречаются исключения. Например, полоний кристаллизуется в простой кубической (ПК) решетке. Но эти случаи крайне немногочисленны.

Часто для описания структур металлов прибегают к так называемой модели твердых шаров. Она же — модель жестких сфер, бильярдных шаров, теннисных мячей и т. д. Под пестрыми названиями скрывается простая суть: атомы металла считают твердыми ша­рами, которые следует уложить как можно плотнее. Тогда мы должны прийти (если, конечно, гипотеза верна) к кристаллическим решеткам реальных ме­таллов.

На первый взгляд модель кажется неправдопо­добно грубой. Тем не менее ее успехи весьма значи­тельны. Известный английский физик Невилл Мотт по этому поводу не без удивления заметил, что для объяснения структуры и многих свойств металлов «достаточно атомной модели Лукреция»[16]).

Современная история твердых шаров начинается с имен И. Кеплера, Р. Гука, М. В. Ломоносова. Гук, в частности, еще в 1665 году моделировал кристаллы с помощью укладываемых рядами дробинок, и его результаты на 250 лет опередили точное знание.

Модель вновь была выдвинута в 1854 году англий­ским исследователем Дж. Уотерстоном. Он, кстати, пришел к ней, действительно наблюдая за движением бильярдных шаров. Уотерстону не удалось опублико­вать свою работу — она была отвергнута как «пустая и бессмысленная». Знаменитый физик лорд Релей обнаружил ее спустя несколько десятков лет в архи­вах Королевского общества, и в 1892 году она нако-i нец появилась в печати.

После расшифровки строения металлических кри­сталлов модель окончательно завоевала себе место под солнцем. И хотя на фоне успехов квантовой ме­ханики представление об атомах как о твердых ша­рах казалось безнадежно устаревшим, наивная мо­дель с успехом продолжала использоваться для объ­яснения особенностей структуры твердых тел.

Самое удивительное, что сегодня эта модель пе­реживает свое второе рождение, и куда более благо­получное, чем первое. Оказалось, что система твердых шаров удачно описывает свойства и структуру не только твердых, но и жидких металлов.

А теперь давайте строить конфигурации из ша­ров. Заполнить ими все пространство, не оставляя промежутков, невозможно. Но доля промежутков мо­жет быть различной. Если она не слишком велика, конфигурацию шаров называют плотной упаковкой. Наша ближайшая цель — найти самые плотные упа­ковки.

Начнем с более простой, двумерной задачи: про­анализируем две различные упаковки жестких дисков на плоскости (рис. 48). Даже «на глаз» очевидно, что вторая упаковка намного плотнее первой. Возникает

Рис. 48 Рис. 49

Вопрос, а нельзя ли придумать еще более плотную упаковку? Ответ известен точно: на втором рисунке изображена самая плотная упаковка из жестких дисков на плоскости.

Теперь перейдем к трехмерному пространству. Здесь точных ответов на сегодняшний день не суще­ствует. Логично испытать следующий прием: уклады­вать шары слоями и каждый слой формировать в виде самой плотной двумерной упаковки.

Первый слой будет точно совпадать с рис. 48, б. Второй, очевидно, надо класть в лунки первого, а третий — в лунки второго.

Для третьего слоя, как видно из рис. 49, суще­ствуют два типа возможных позиций. Лунки первого типа находятся точно над шарами первого слоя. Если, продолжая укладку шаров, четвертый слой по^ местить точно над вторым и т. д., то символическая формула полученной структуры будет иметь вид АВАВ…

Сравнение уложенных шаров с рисунком элемен­тарной ячейки на рис. 47 показывает, что мы по­строили ГПУ решетку. В этой решетке кристалли­зуются цинк, магний, кадмий, цирконий и т. д.

Элементарная ячейка ГПУ решетки имеет два ха­рактерных размера — высоту призмы (с) и длину ребра шестиугольного основания (а). Их значения, полученные рентгеновскими методами, приведены в табл. 3.

Таблица 3 Параметры решетки металлов с ГПУ решеткой

Металлы

С, HM

А, нм

С/в

Бериллий

0,3584

0,2280

1,572

Магний

0,5200

0,3203

1,623

Тнтан

0,4679

0,2951

1,586

Цинк

0,4937

0,2659

1,857

Кадмий

0,5607

‘ 0,2973

1,886

Кобальт

0,4066

0,2506

1,622′

Твердые шары имеют единственный характерный размер — радиус г. Поэтому величины с и а одно­значно через него выражаются. Из рис. 50 ясно, что а = 2г.

&

Рис. 50 Рис. 51

Теперь вычислим высоту призмы с. Проще всего это сделать, заметив, что она равна удвоенной высоте правильного тетраэдра с вершинами из центров ша­ров (рис. 51). Элементарное геометрическое рассмот­рение (которое мы опустим) приводит к соотношению

С = 4г У2/3 •

Отсюда следует, что для ГПУ структуры из твердых шаров (так называемая идеальная ГПУ решетка) от­ношение размеров есть постоянная универсальная ве­личина: с/а = 2 л/2/3 «=1,633. Сравнение с данными таблицы показывает количественное подтверждение предсказаний модели в пределах примерно 10 %, Если принять во внимание крайне упрощенный ха­рактер рассмотрения, этот результат следует признать вполне удовлетворительным.

Перейдем теперь к другому способу укладки ша­ров третьего слоя в лунки (рис. 48). Ему отвечает

Рис. 52

Символическая формула АВСАВС… На этот раз нами построена ГЦК решетка. С первого взгляда на эле­ментарную ячейку (см. рис. 48,6) это, правда, неза­метно. Но в этом помогают удостовериться более выразительные рисунки. На рис. 52 ГЦК решетка пред­ставлена в виде плотной упа­ковки шаров, а на рис. 53 выде­лены плотноупакованные пло­скости в ГЦК решетке. ГЦК решетка — самая распространен­ная в мире металлов. Ею обла­дают всем известные никель, Рис. 53 медь, золото, серебро, алюминий,

Платина…

Последняя из типичных металлических структур — ОЦК (калий, натрий, литий, ванадий…)—уступает по плотности упаковки идеальным ГПУ и ГЦК решет­кам. Но не так уж существенно.

Введем количественную меру плотности упаков­ки— коэффициент упаковки г|, равный доле простран­ства, занятого твердыми шарами. Вычислим его, на­пример, для ГЦК структуры. Объем элементарного кубика, содержащего четыре атома (убедитесь в этом сами), — а3. Диаметр шара равен расстоянию между ближайшими узлами в решетке, т. е,

2л = а/-\/2".

Следовательно, коэффициент упаковки равен

Аналогичным образом вычисляются коэффициенты упаковки и для других структур.

Из табл. 4 видно, что три характерные для ме­таллов решетки (ГЦК, ГПУ, ОЦК) имеют достаточно высокие коэффициенты упаковки. Намного выше, чем у приведенной для сравнения простой кубической (ПК) решетки.

Таблица 4 Коэффициент упаковки в разных решетках

Решетка

1I

Решетка

Ч

ГЦК

0,74

ОЦК

0,68

ГПУ (идеальная)

0,74

ПК

0,52

Разные металлы в модели твердых шаров харак­теризуются единственным параметром — радиусом шара или атомным радиусом. Его легко определить. Ведь, как мы видели, атомный радиус просто связан с размерами элементарной ячейки, которые, в свою очередь, можно легко определить из эксперимента с рентгеновскими лучами. Полученные таким образом данные сводятся в специальные таблицы, первая из которых была составлена в 1920 году Брэггом. Мы приведем ее современный вариант. Обратите внима­ние, что в табл. 5 указаны и атомные радиусы неко­торых неметаллических элементов. Они определяются тем же образом — по параметрам элементарных ячеек кристаллических решеток, хотя для них, строго го-

Таблица 5

Атомные радиусы некоторых элементов

Элемент

Т, HM

Элемент

Т, HM

Ll

0,155

Cu

0,128

Na

0,189

Zn

0,139

К

0,236

Pt

0,138

Mg

0,160

Au

0,144

Ca

0,197

I Ag

0,144

Ti

0,146

! w

0,140

Zr

0,160

Mo

0,139

Hf

0,159

Al

0,143

Cr

0,127

Та

0,146

Mn

0,130

В

0,091

Fe

0,126

С

0,077

Со

0,125

N

0,071

Ni

0,124

Н

0.046

Воря, применение модели твердых шаров менее оправ­дано.

И последняя характерная особенность кристалли­ческого строения металлов. Как правило, они яв­ляются поликристаллами, т. е. состоят из многих

Рис. 54

Сросшихся кристаллов, каждый из которых имеет свою ориентировку. Отдельные кристаллики, из кото­рых, как из мозаики, сложен металлический образец, называются зернами. Зернистое строение металла можно изучать рентгеновскими методами, но часто для этого даже более удобен световой микроскоп.

Перед вами фотография металлического шлифа, сделанная через микроскоп (рис. 54). Области между зернами — так называемые границы зерен — обычно травятся реактивами сильнее, чем сами зерна, и на их месте образуются канавки, которые видны как темные линии.

Мы осторожно написали, чте металлы «как пра­вило, являются поликристаллами». И действительно, специальными методами можно получать металличе­ские образцы, представляющие собой единый кри­сталл <-!-,монокристалл. Но о том, как это делается и почему обычный металл поликристалличен, мы рас­скажем в гл. 6.

. I.