Главная формула статистической механики

Как бы ни «кувыркались» микроскопиче­ские магнитики, свойства больших образцов демон­стрируют завидное постоянство. Измеряя точку Кюри магнита, мы всякий раз будем получать одно и то же ее значение (конечно, в пределах погрешности изме­рений). А вот сходный пример из другой области фи­зики. Давление газа в баллоне определяется импуль­сом, передаваемым молекулами стенкам при ударе о них. И хотя каждая молекула движется хаотически, показания манометра не меняются.

Видимое противоречие разрешается, если вспом­нить, что мы никогда не «имеем дела» с отдельной молекулой или отдельным магнитиком. Во всех про­цессах участвует колоссальное количество таких мик­роскопических объектов и в силу вступают законы больших чисел. С их действием мы уже знакомы на примере с подбрасыванием монет. Как бы случайно ни подбрасывалась каждая отдельная монета, из большого числа монет почти ровно половина упадут на «орла»…

Точно так же при хаотических переворотах стре­лок модели Изинга в принципе может возникнуть любая их конфигурация. Но вероятности львиной доли этих конфигураций исключительно малы. А нас интересует, наоборот, элита — элита самых вероятных.

T

11 ;

\ I

11

I *

!

I

111

I J

T 4

4

T

T

111

J S

I t

T

I

1

T J. t

/ \

11

T

I

Рис. 62

От чего зависит вероятность появления той или иной конфигурации магнитных стрелок?. На первый взгляд кажется, что от ориентации каждой из них. К счартью, это не так. Например, совершенно оче­видно, что две конфигурации, отличающиеся направ­лением всех стрелок, равновероятны (рнс;-,62). Можно привести и множество других аналогичных примеров. Это подводит нас к важному выводу: очевидно, ве­роятность появления той или иной конфигурации за­висит от какой-то величины, характеризующей всю конфигурацию в целом. Наиболее подходящим кан­дидатом на центральную роль без сомнения является энергия:

Кроме того, в выражение для вероятности обяза­тельно должна входить температура. В этом мы убе­дились, когда анализировали, как тепловое движение разупорядочивает систему первоначально параллель­ных магнитных стрелок. Чтобы вероятность была ве­личиной безразмерной, энергия и температура долж­ны входить в нее в виде отношения E/kT.

Вывода точной формулы мы проводить не будем (он достаточно сложен), а сразу запишем оконча­тельный результат, принадлежащий Гиббсу:

Хотя формулу для вероятности мы оставим без доказательства, отметим все-таки, как разумно она «устроена». По принципу «и волки сыты, и овцы целы». В самом деле, конфигурации с большой энер­гией не запрещены совсем. Но чем больше энергия конфигурации, тем менее она вероятна.

Наконец, подчеркнем еще одно существенное об­стоятельство. Формула Гиббса относится к случаю, когда в системе достигнуто тепловое равновесие.

По значимости для физики формулу для вероят­ности можно сравнить с законами Ньютона. Приве­дем ее оценку Р. Феннманом: «Это фундаментальное соотношение является вершиной статистической меха­ники: остальное ее содержание есть либо спуск с вер­шины, когда основные принципы применяются к част­ным вопросам, либо восхождение на нее, когда вы­водятся основные соотношения и уточняются понятия теплового равновесия и температуры».

Надо признать, что восхождение мы совершили не очень подробно, как по волшебству перелетая через опасные пропасти[19]). По терминологии Фейнмана нас больше интересует спуск — применение формулы Гибб­са к фазовым превращениям в металлах и сплавах.