По законам вероятности

Теория вероятностей есть не что иное, как здравый

Смысл, сведенный к расчету,

Л. Лаплас

При вероятностном подходе гигантское количество частиц, которое казалось неодолимым барьером на пути механики Ньютона, напротив, об­легчает задачу. Поясним это примером.

Подбросим монету и попытаемся предсказать, что выпадет—«орел» или «решетка». С точки зрения ме­ханики для этого необходима исчерпывающая инфор­мация о том, какая это монета, как она подкиды­вается, есть ли потоки воздуха и т. д. Ясно, что сделать надежное предсказание очень трудно, но иного пути нет вообще. Допустим теперь, что мы под­брасываем не одну, а миллион монет. Пойти путем механических расчетов для предсказания результатов в этом случае ровно в миллион раз труднее. Но и без них можно сказать, что примерно 500 000 монет упа­дут на «орла», а 500 000 — на «решетку». Если мы н ошибемся, то очень ненамного в процентном отно – шенин. И чем больше будет число подбрасываемых монет, тем более точными (относительно) станут ве­роятностные прогнозы. Поэтому макроскопические тела, состоящие из IO23 частиц, — просто идеальные, самой природой созданные объекты для применения теории вероятностей.

Без сомнения, многие с понятием вероятности уже знакомы. А для остальных мы сообщим начальные сведения. Не будем при этом стремиться к матема­тической строгости, а станем опираться на здравый смысл. Эпиграф подсказывает, что такой подход имел право на жизнь и два века назад во времена Лап­ласа. А сегодня люди куда лучше подготовлены к ве­роятностному подходу. Приведем мнение по этому поводу классика вероятностной математики У. Фел – лера: «Современный студент не в состоянии оценить способы рассуждений, предрассудки и прочие труд­ности, с которыми приходилось бороться теории ве­роятностей в первое время ее существования. В наши дни газеты сообщают о выборочных исследованиях общественного мнения, и магия статистики охватывает все стороны жизни в такой степени, что молодые де­вушки следят за статистикой, оценивая свои шансы выйти замуж. Поэтому каждый приобретает интуи­тивное представление о смысле таких утверждений, как „за это событие — три шанса из пяти"».

В качестве физической модели для изучения начал теории вероятностей выберем игральный кубик. Под­бросим его N раз. В ti\ случаях выпадет «единица», в п2 — «двойка» и т. д. Назовем вероятностью вы­падения «единицы» отношение ti\/N (оно называется относительной частотой) при очень большом, числе испытаний N:

P1–K1IN, N —> оо.

Если кубик правильный, вероятности всех исхо­дов («единицы», «двойки» .и т. д.) равны 1./.6:

Pi = Pi = Pz = Pi = Ps = Pg = 1/6..

Это означает, что в среднем из шести испытаний один раз выпадет «единица», один раз — «двойка» и т. д.

Поставим теперь вопрос: чему равна вероятность выпадения при бросании кубика либо «двойки», либо «тройки»? Элементарные вычисления подсказывают ответ:

Р (2 или 3) = ^±^- = ^ + – f = p2 + p3.

Вообще, если мы хотим узнать вероятность того, что произойдет либо событие А, либо событие В (ко­торые считаются взаимоисключающими), то вероятно­сти их индивидуальной реализации следует сложить. Этот результат называется правилом сложения ве­роятностей и символически записывается в виде

Р (А + В) = р (Л) + р(В), Р(А + В + С) = р(А) + р(В) + р(С).

Подбрасывание кубика может закончиться только одним из шести исходов (считается невозможным, что кубик встанет на ребро). Поэтому вероятность выпа­дения либо «единицы», либо «двойки», …, либо «ше­стерки» равна 1. По правилу сложения вероятностей получаем

Px + P2 + Рз + Pi + Ps + PG = 1.

И всегда сумма вероятностей всех возможных исхо­дов равна 1. Это отражает тот факт, что какое-то из событий обязательно произойдет.

Перейдем к чуть более сложным опытам с двумя одинаковыми кубиками. Какова вероятность того, что при их одновременном подбрасывании на первом из кубиков выпадет «двойка», а на втором — «тройка»? Ответ опять-таки легко найти «по здравому смыслу». Если подбрасывать кубики N раз, то на первом вы­падет «двойка» в п2 случаях. А что будет в это время на втором? На нем «тройка» выпадает с вероятностью Рз, т. е. только в ргп2 случаях «двойка» и «тройка» одновременно выпадут соответственно на первом и втором кубиках:

Р (2 и 3) = H2P7JN = р2 – р3.

Это так называемое правило умножения вероятно­стей: вероятность совместной реализации двух неза­висимых событий *) А и В определяется их произве­дением

____________ р(А-В) = р(А)-р (В).

*) События А и В называются независимыми, если вероят­Ность реализации В не зависит от того, произошло ли А или нет.

Вот, пожалуй, и все свойства вероятности, которые пригодятся нам в дальнейшем. Теперь немного потре­нируемся в обращении с вероятностями, а заодно по­лучим несколько полезных формул и оценок. При этом потребуется немного «повозиться» с математическими формулами, так что наберитесь терпения.

В начале этого параграфа утверждалось, что при бросании большого числа монет можно с высокой точностью предсказать, что выпадет равное число «орлов» и «решеток». Попробуем показать, что озна­чают слова «с высокой точностью», и с этой целью подсчитаем, какова вероятность того, что при броса­нии N монет т из них упадут на «орла».

Всего существует 2N возможных исходов броса­ния N монет. Обозначим через QmN число исходов [‘(будем их называть благоприятными), когда выпа­дает ровно т «орлов». Тогда искомая вероятность равна

Р (т «орлов» на N монетах) = Pm = QmN/2M.

Те, кто знаком с комбинаторикой, сразу запишут выражение для числа благоприятных исходов:

П ________________ гт__ NI

ЧтН — ЬН— т1(Л/_т)1 •

Нетрудно понять, как оно получается. Пронуме­руем монеты и нарисуем любой из благоприятных ис­ходов (рис. 57). При этом становится довольно оче­видным, что по существу требуется найти, сколь­кими способами т «ор­лов» можно «располо­жить» на N монетах. Пер­вый «орел» может вы­пасть на любой из N мо­нет, второй — на любой из оставшихся (N— 1) и т. д. Общее число вариантов соответственно равно

N {n _ 1) (дг _ 2),., [N – 1)1 = , N_[m)(.

Следует еще учесть, что за первого «орла» можно принять любого из т., за второго — любого из (ш— 1 j и т. д. Ведь безразлично, в каком порядке их нуме­ровать. Поэтому число вариантов необходимо разде­лить на число перестановок «орлов» между собой, т. с. на т\, и тогда придем к уже записанной формуле. Окончательно получаем

N\

__________________ Т\ (N — т)\

Pm 2’v

И без вычислений понятно, что максимальное зна­чение рт должно принимать при т — N/2. А вот на­сколько «острым» будет этот максимум, можно оце­нить но отношению

PNI2 (ЛГ/2 – А)! (ЛУ2 + Л)1 РЛ’/Э-Д ~~ W2)! W2)!

Где Д — небольшое отклонение от N/2. Можно, па – пример, рассматривать отклонение в 1 %, т. е. считать А = N/200. Если при этом отношение окажется до­статочно большим, то можно считать даже отклоне­ние в 1 % от выпадения равного числа «орлов» и «ре­шеток» практически невероятным.

Чтобы оценить отношение, нам придется восполь­зоваться формулой Стирлинга, которая утверждает, что при больших л

In п\ — л(1п п — 1).

Здесь значок In (читается «натуральный лога­рифм») обозначает логарифм по основанию е =: = 2,71828… Число е — одно из знаменитых чисел в математике. По популярности у него, пожалуй, лишь один соперник — число я.

Формула Стирлинга выполняется тем лучше, чем больше п. Мы ее доказывать не станем, но можете с помощью калькулятора сами убедиться в ее точ­ности.

Воспользовавшись формулой Стирлинга, получи^

1п ЫРыр-ь) = W2 – Д)1п да – А) +

+ (N/2 + Д) In (N/2 + Д) – N In (ВД.

У натурального логарифма есть одно полезное свойство. При малых по модулю по сравнению с еди­ницей х 1) с хорошей точностью выполняется равенство

In (1 +х)~х.

В справедливости этой формулы мы также пред­лагаем вам убедиться с помощью калькулятора. Ис­пользуя ее, можно добиться дальнейших упрощений:

In (N/2 — Д) = !п(Л72) + In (1 — 2Л/Л0 = ln(W/2) – 2\/N, In (N/2 + Д) «* In (N/2) + 2Д/N. В результате получаем

1п {Рк/г/Рт-ь) = 4^N

Подставим теперь, как мы договаривались, Д — = Л7/200, а для N примем значение, равное постоян­ной Азогадро ( ~ IO2i). Тогда окажется, что

Это чудовищное число, на которое даже не хва­тает фантазии. Оно демонстрирует «остроту» макси­мума вероятности и показывает, что при бросании IO23 монет прогноз «по максимуму вероятности» ока­зывается практически точным.

Магнитный фазовый переход м модель Мзинга

Мы начнем изучение фазовых переходов С объяснения одного свойства магнитов, на которое обратили внимание в 1600 году: при нагревании маг­нит перестанет быть магнитом.

Это легко наблюдать на опыте. Возьмем магнит и приблизим его к кучке мелких металлических пред­метов, например кнопок. Тотчас же некоторые из них к нему «примагнитятся». А теперь поднесем к маг­ниту с «налипшими» на него кнопками горящую свечу.

По мере нагревания кнопки одна за другой начнут падать. При некоторой температуре их – на магните вообще не останется. Они все упадут потому, что при этой температуре — точке Кюри—магнит теряет свои магнитные свойства. Можно догадаться, что это один из видов фазовых переходов, когда при нагревании магнитная фаза превращается в немагнитную.

Такие фазовые переходы широко* известны. Они происходят, в частности, в чистых никеле (точка Кюри Tc = 358°С), железе (Tc — 770 0C), кобальте (Тс— 1130°С). На практике часто требуются мате­риалы, которые бы сохраняли магнетизм в широком

Диапазоне температур. В этом смысле наиболее пер­спективным кажется кобальт. И на самом деле, в начале XX века, когда происходило бурное развитие производства магнитов, спрос на кобальт резко уве­личился. Но еще незадолго до этого в вышедшей в 1912 году книге «Металлургия цветных металлов» утверждалось следующее: «…до настоящего времени металлический кобальт с точки зрения потребления не представляет интереса».

Резко изменившейся ситуации в промышленности соответствовал и повышенный интерес к магнетизму со стороны исследователей. Для объяснения магнитных фазовых переходов физик В. Ленц в 1920 году пред­ложил модель, которую поручил исследовать своему студенту Е. Изингу. Соответствующая статья послед­него вышла в свет в 1925 году. С тех пор эта модель под именем модели Изинга вошла в лексикон науки. Сегодня лишь самые щепетильные авторы, отдавая дань истинному первооткрывателю, называют ее мо­делью Изинга — Ленца,

Эта модель сделала удивительную «карьеру», по­бив все рекорды популярности. Ключевые разделы реферативных физических журналов (где печатается краткая информация обо всех публикациях в данной области) буквально пестрят фамилией Изинга. Зна* чение этой модели вышло далеко за рамки магне* тизма, и интерес к ней проявляют представители Самых разных разделов физики. А для специалистов по фазовым переходам модель Изинга примерно то же, что Мекка для мусульманина. Повальное увлече­ние моделью приняло такие масштабы, что с иронией стали говорить о новом заразном заболевании — «бо­лезни Изинга». Причина популярности состоит в том, что это самая простая модель, которая позволяет ра­зобраться в механизме фазовых переходов. Обратим­ся к ее сути.

Ленц считал, что каждый атом представляет со­бой элементарный магнитик, который обозначают стрелкой (вроде магнитной стрелки компаса). Она указывает направление создаваемого им магнитного поля. Для упрощения Ленц принял, что стрелка эле­ментарного магнитика может быть ориентирована только в двух направлениях—вверх или вниз.

Магнитное поле образца, состоящего из большого числа атомов, складывается из полей элементарных

/Иагнит

T i 1

T

Ir t I

I

T I ;

T

I T I

T

Немагнит

Магнитиков. Если при-

Мерно половина из них направлена вверх, а половин-а вниз, то сум­марное магнитное по­ле окажется практи­чески равным нулю. Но если имеется ка – Рис. 58 кая-нибудь преимуще­

Ственная ориентация магнитиков, тогда образец в целом будет вести себя как магнит (рис. 58).

Элементарные магнитики, как и положено любым магнитам, взаимодействуют между собой[18]). Есте­ственно, что чем ближе друг к другу в решетке они расположены, тем сильнее должно быть взаимодей­ствие. Ленц и это решил учесть приближенно, приняв, что взаимодействуют лишь ближайшие соседи в ре­шетке.

Если два соседних магнитика направлены в одну сторону (параллельно), энергия их взаимодействия принимается равной (—/), если в разные стороны

(антипараллельно)"—равной J:

Очевидно, что в модели Изинга энергетически вы­годно параллельное расположение соседних стрелок, А минимальную энер­гию имеют конфигура­ции, в которой все стрелки направлены в одну сторону (рис, 69).

Переворот (поворот на 180°) любой из конфигурации минимальной энергии стрелок увеличит энер­гию (в плоской квад – Рис. 59 ратной решетке) на

T

111

T

111

T

T T t

T

T T t

8/ (рис. 60), в чем легко убедиться непосредствен­ным подсчетом. Поэтому размагничивание магнита энергетически невыгодно.

+ SJ^

Mtt

Ft. \ 1

Mtt Mtt

T

T

T

T

T~

И

T

T

T

T

T

T t

Рис. 60

Теперь настало время учесть очень важное обстоя­тельство: в системе магнитных стрелок поддержи­вается определенная температура. Так и должно быть, поскольку магнитики — не более чем выделенная нами часть металлического образца и имеют ту же температуру, что и весь образец.

На первый взгляд неясно, как «ввести» темпера­туру в модель Изинга. В идеальном газе температура определяется средней кинетической энергией хаотиче­ского движения молекул. Но стрелки перемещаться не могут, а фиксированы в своем узле решетки. По­этому, чтобы понять влияние температуры на ориен­тацию магнитиков, мы применим искусственный прием. Представим себе, что придуманные нами маг­нитные стрелки (которых на самом деле нет, так как они просто указывают направление магнитного поля отдельного атома) реально существуют и сделаны из невесомого материала. В этом случае решетку с маг­нитиками (для определенности остановимся на квад­ратной решетке) можно поместить в сосуд с газом, стенки которого поддерживаются при температуре Т. Тогда находящиеся в тепловом контакте с газом маг­нитные стрелки также нагреваются до этой темпера­туры. В чем же это выразится?

Летающие в сосуде молекулы время от времени будут сталкиваться со стрелками и их перевора­чивать.

Пусть вначале все стрелки направлены в одну сто­рону. Каждую стрелку удерживают в определенной ориентации силы взаимодействия с соседями. Как было сказано выше, переворот стрелки увеличивает энергию системы на 8J.

Предположим, что подлетающая к стрелке моле­кула имеет кинетическую энергию Ек. Если Ek > 8/, J» то при ударе молекула может)

TTlrOz /-у___ перевернуть стрелку (рис. 61 )<

2 ^ ^ J В результате согласованная вна – Рис 6] чале ориентация магнитиков на­

Рушается.

Поскольку, как известно, в среднем Eк ~ kT, то это означает, что температура вносит в систему маг­нитиков «дезорганизующее» начало. Когда нагрева­ние становится достаточно сильным, оно может окон­чательно разорвать энергетические «путы» магнитных стрелок. В этом случае магнит и теряет свои магнит-, ные свойства.

И еще одна тонкость. Согласованная вначале ориентация магнитных стрелок под ударами молекул газа нарушится. Но лишь до определенного предела. Ведь тепловое движение может и возвращать стрелки в их первоначальное положение. Через какое-то время установится состояние, которое в дальнейшем уже не будет меняться. Перевороты стрелок вверх-вниз и вниз-вверх будут взаимно скомпенсированы. Такое состояние называется равновесным. О нем уже упо­миналось в гл. 2 и именно на него будет обращено наше внимание в дальнейшем.

Предложенная модель размагничивания качествен­но передает все особенности реального явления. Но как придать нашим рассуждениям более строгую и законченную форму?