Правило фаз Гиббса

Не почувствовали ли вы по фазовой диа­грамме воды, что имеются какие-то законы, регла­ментирующие «условия жизни» фаз? Так, в одно­фазном состоянии система существует в широком диапазоне давлений и температур, в двухфазном — только при их определенных комбинациях, а трехфаз­ная область на диаграмме вообще стягивается в точ­ку. Так и хочется представить разные фазы в роли жильцов коммунальной квартиры: чем больше жиль­цов, тем меньше свободы у каждого из них. Впрочем, нельзя делать выводы на основании диаграммы од – ного-единственного вещества. А вдруг в другом все иначе?

И все-таки общий закон сосуществования фаз дей­ствительно есть. По имени своего первооткрывателя он называется правилом Гиббса. Этот человек сыг­рал совершенно исключительную роль в развитии термодинамики и статистической физики.

Во всех биографиях Гиббса подчеркивается, что его жизнь (1839—1903) была внешне бедна события­ми. Все его силы были сконцентрированы на получе­нии научных результатов, блеск которых не потускнел и еегодня. Со времени опубликования последней ра­боты Гиббса прошло более 80 лет, но до сих пор в его трудах не обнаружено ни одной ошибки, а ре­зультаты продолжают использоваться практически в неизменном виде.

Гиббса часто называют первым физиком-теорети­ком в Новом Свете. Он работал по существу в оди­ночку, а его единственными орудиями труда были бу­мага и перо. Достижения Гиббса поначалу были оценены лишь немногими. Но на рубеже XIX и XX ве­ков его абстрактные идеи о равновесии в сложных си­стемах проложили себе дорогу к широкому кругу уче­ных и инженеров и материализовались в промышлен­ных процессах химии и металлургии.

Приведем оценку работ Гиббса, данную академи­ком Н. С. Курнаковым: «Современный период в раз­витии физико-химического анализа начинается с 1873—1878 гг., когда были напечатаны в трудах Кон­нектикутской Академии наук (Сев. Америка) класси­ческие мемуары Гиббса относительно равновесий не­однородных систем. Здесь были введены впервые но­вые понятия о фазах и компонентах (слагаемых), которые имели впоследствии громадное значение для изучения химических равновесий. Эти понятия в свя­зи с знаменитым правилом фаз Гиббса внесли сюда единство и простоту и послужили основанием для классификации сложных явлений».

Начнем изучение правила фаз все с той же воды, находящейся в замкнутом сосуде при определенных давлении P и температуре Т. Предположим, что при этих значениях P и Г в равновесии находятся жидкая фаза и пар. Молекулы НгО в паре и жидкости пребы­вают в непрестанном тепловом движении. В резуль­тате некоторые из них покидают свою «материнскую» фазу и «перебазируются» в соседнюю — больше им ведь деться некуда. Количество молекул, которое в среднем будет улетать в единицу времени через еди­ницу площади из жидкости, обозначим qx. От чего может зависеть это число? Поскольку, как мы уже отмечали, положение дел в замкнутом сосуде с чистой водой находится в прямой зависимости лишь от уста­навливаемых извне давления и температуры, вели­чина <7ж также должна зависеть только от них

И совершенно аналогично для пара Яп = Яп(Р, Т).

Явный вид этих зависимостей нам неизвестен. Он различен для разных веществ, а мы пытаемся устано­вить общие закономерности. Вода выбрана только в качестве удобного примера, но никаких ее конкрет­ных свойств использовано не будет. Для нас сейчас важно лишь существование зависимостей, а не их яв­ная форма.

Молекулы, покидающие пар, переходят в жидкость и наоборот. Поэтому если

То паровая фаза будет расти за счет жидкой. Если же

То жидкая фаза будет «съедать» паровую. Наконец, число молекул в каждой из фаз не будет меняться во времени, если

Я АР. T) = qAP, Т).

Но ведь это и есть условие равновесия жидкой и па­ровой фаз!

Если бы явный вид зависимостей qx(P, T) и qn(P, T) был известен, то, задавая давление, можно было бы рассчитать температуру двухфазного равно­весия или наоборот. Так, например, подставив в по­следнее уравнение атмосферное давление, должны были бы получить температуру равновесия жид­кость— пар 100°С. На фазовой диаграмме уравне­нию qn(P, T)— qx(P, T) соответствует линия равно­весия жидкость— пар.

Здесь пора ввести новое понятие — число степеней свободы. Так в термодинамике принято называть ко­личество внешних параметров, которое в некоторых пределах можно независимо друг от друга менять, не меняя при этом фазового состояния системы.

83

В изучаемом нами случае внешних параметров всего два: давление и температура. А теперь взгля­ните еще раз на фазовую диаграмму воды. Каждому однофазному состоянию соответствует некоторая пло­щадь, в пределах которой можно свободно варьиро­вать оба параметра. Например, жидкую воду можно нагреть или приложить к ней внешнее давление либо сделать и то и другое одновременно (все это, конечно, в некоторых пределах), но фазовое состояние системы в сосуде не изменится. Вода так и останется водой. То же самое справедливо в случае льда или пара. Можно сделать вывод, что однофазная система имеет две степени свободы.,

2 А. С. ШтеАнберг

Совсем другая ситуация при двухфазном равно­весии. Имеется уравнение, связывающее оба внешних параметра. В случае равновесия жидкость — пар мы его уже записывали! q-ж (P, T)=qn(P, T). Поэтому свободно можно менять уже только один параметр, а другой надо «подстраивать» к нему в соответствии с уравнением (или, что то же самое, линией диаграм­мы). Если же мы станем менять оба параметра не­зависимо друг от друга, то «соскочим» с линии фазо­вого равновесия, и одна из фаз исчезнет—фазовое состояние системы изменится. Поэтому двухфазное состояние имеет всего одну степень сво – ^ боды.

I Перейдем теперь к трехфазному рав-

¦ПЗР новесию. Для этого учтем, что — число ¦ЛСД молекул, покидающих за единицу време- 0СШ ни чеРез единицу площади лед, также будет функцией давления и температуры:

Рис.5 дл = дл(Р, Т).

Предположим, что фазы в сосуде располагаются, как показано на рис. 5. Тогда для равновесия пар—¦ лед имеем

А для равновесия лед — вода

Дж(Р, Т) = Ча(Р, Т).

Легко понять, что аналогичные равенства можно записать для любого взаимного расположения фаз. Обычно их сразу записывают в сокращенной форме:

<7п(Р, Т)^Яж{Р, Т) = яЛР, Т).

Решение последней системы из двух уравнений с двумя неизвестными определит то сочетание давле­ния и температуры, когда в равновесии будут нахо­диться все три фазы. Ясно, что число степеней сво­боды трехфазного равновесия равно нулю.

Если бы мы стали рассматривать четырехфазное равновесие, уравнений стало бы уже три:

Qi(P, T) = qn(P, T) = qm(P, T) = qlv(P, T),

А неизвестных по-прежнему осталось бы два. Система из трех уравнений с двумя неизвестными в общем

Случае решения не имеет. Поэтому максимальное число фаз, которые могут находиться в равновесии в однокомпонентной системе, равно трем.

Содержание этих закономерностей и составляет суть правила Гиббса, которое легко сформулировать в терминах степеней свободы: в однокомпонентной системе число степеней свободы С (неотрицательное число) просто связано с числом фаз Ф, находящихся в равновесии:

С = 3 – Ф.

Взгляните на три диаграммы состояния одноком­понентной системы. Не вдаваясь в рассмотрение кон­кретных веществ, для которых они построены, можно сразу утверждать их ошибочность. На первой диа­грамме существует точка четырехфазного равновесия. На второй трехфазное равновесие имеет две степени свободы. На третьей — две степени свободы имеет двухфазное равновесие. Говоря словами одного из персонажей А. П. Чехова, «этого не может быть, по­тому что этого не может быть никогда». Правило фаз категорически запрещает такие ситуации.

2*

35

А теперь посмотрите на рис. 6, где изображена диаграмма состояния висмута. Римскими цифрами обозначены его пять различных кристаллических фаз. Можете сами убедиться, что несмотря на достаточно сложный вид диаграммы все ее элементы правилу фаз не противоречат.

Чтобы воспользоваться правилом фаз для спла­вов, необходимо обобщить его на многокомпонентные системы. Самый простой сплав состоит из двух ком­понентов*). Поэтому, чтобы полностью описать его равновесное состояние помимо общих для всех фаз температуры и давления, надо указать относительное

Содержание компонентов (т. е. концентрацию одно­го из них) в каждой из фаз. Ведь фазам с разной концентрацией компонен­тов ничто не мешает на­ходиться в равновесии друг с другом! Аналогич­но в сплаве из К компо­нентов следует указать К — 1 значение концен­траций в каждой из фаз.

Учтя это обстоятельство, рассмотрим ситуацию математически. Предположим, что в системе из /(ком­понентов в равновесии находится Ф фаз. Запишем условие равновесия для каждого компонента:

41=^ = …

Здесь верхний индекс у величины q обозначает номер фазы, а нижний индекс — номер компонента. Эта система равенств является непосредственным об­общением условий равновесия в однокомпонентнон системе.

Каждая из величин q должна зависеть от темпе­ратуры, давления и (К—1) концентрации в своей фазе. Таким образом, общее число параметров, кото­рые надо указать, чтобы полностью описать равно­весие, равно 2 + (К.— 1 )Ф.

„ А теперь подсчитаем общее число уравнений в по­следней системе. Для каждого компонента оно равно Ф—1, а всего компонентов К. Итого /С(Ф—1).

/

_ ж /

V

\А\

-M ш

I |"| I I

I I I

[400

Ж

‘О 0,2 Q4- 0,6 Ц8 1 Давление, По, х Ю

Рис. 6

. . *) Состоящую из кислорода и водороду воду можно рас­сматривать (в пренебрежении диссоццадией) как однокомпо – IieilfHyra систему молекул HjO. ••¦•¦¦.

Каждое из уравнений «отнимает» одну степень свободы у системы. Поэтому число степеней свободы равно общему количеству параметров минус количе­ство уравнений:

С = 2 + (/( — 1) Ф — /С (Ф — 1) = 2 — Ф + /С.

Сразу видно, что при К = 1 (однокомпонентная система) мы получим уже известное нам равенство: С = 3 —Ф.

Поскольку число степеней свободы по смыслу должно быть неотрицательным числом, из правила фаз следует, что максимальное число фаз, которое может одновременно существовать в равновесии в /(-компонентной системе, равно 2 + К-

Правило фаз выводилось для замкнутой системы. Но, строго говоря, такого почти никогда не бывает. Система обычно находится в контакте с внешней сре­дой, с которой может происходить обмен атомами или молекулами. Иногда с этим приходится считать­ся. Однако при изучении твердых и жидких нелетучих фаз даже «открытую» систему (например, стальной слиток при технологических операциях на заводе) можно рассматривать как замкнутую. Мы примем Это предположение и посмотрим, что даст нам пра­вило фаз при исследовании фазовых превращений в сплавах.

Затвердевание жидкого сплава

Фазовые превращения в сплавах обычно изучают при нормальном атмосферном давлении. Раз давление фиксировано — одну степень свободы долой, й формула правила фаз принимает вид

C = K+ 1 – Ф.

Попытаемся ее применить для анализа известного фазового превращения — затвердевания (более точ­но— кристаллизации) жидкого сплава. Им люди пользовались с незапамятных времен: металл нагре­ванием расплавляли, затем жидкость заливали в ли­тейную форму, где изделие сразу приобретало закон­ченный вид.

Плавление и затвердевание происходят при одной )i той же температуре (точно так же, как таяние и Образование льда), когда в равновесии находятся

Жидкая и твердая фазы (Ф = 2). Следовательно,

Если затвердевает или плавится чистый металл, то K= 1 и число степеней свободы становится равным нулю. Это означает, что плавление и кристаллизация происходят при одной строго фиксированной темпе­ратуре. Она хорошо известна для всех металлов. На­пример, для меди она равна 1083°С, а для никеля 1455°С. Ну, а как будет происходить затвердевание сплавов меди с никелем? Здесь число компонентов К = 2 н число степеней свободы оказывается равным единице. Следовательно, если взять сплав фиксиро­ванной концентрации, то он будет плавиться или за­твердевать в некотором интервале температур. Такая ситуация кажется уже не вполне обычной, и желатель­но поставить эксперимент, чтобы убедиться в пра­вильности теоретического рассмотрения.

Существует много вариантов наблюдения плавле­ния или затвердевания сплава. Но, возможно, самым простым и наглядным является метод кривых охлаж­дений. В конце прошлого — начале нынешнего веков этот метод широко использовался в работах школы академика Николая Семеновича Курнакова в России. Сам Н. С. Курнаков сконструировал специальный прибор—пирометр Курнакова—для автоматизации измерений.

Метод основан на регистрации теплового эффек­та, которым сопровождается фазовое превращение[6]). Любой из нас имел возможность убедиться в его существовании, когда после купания выходил из воды на берег. Даже в самый жаркий день при этом ощу­щается некоторый «холодок», так как испаряющиеся капли забирают определенное количество теплоты у тела. При кристаллизации жидкого сплава тепло, наоборот, выделяется. И это с помощью приборов также можно «почувствовать».

Дадим жидкому сплаву возможность свободно охлаждаться и будем фиксировать зависимость тем­пературы сплава от времени, которую называют кри­вой охлаждения. В отсутствие фазового превращения охлаждение будет идти плавно. А всевозможные «остановки» и «изломы», которые будут появляться под пером самописца, как раз и объясняются тепло­вым эффектом кристаллизации.

Подготовим серию образцов сплавов системы медь — никель[7]) разной концентрации и приступим к эксперименту (рис. 7).

Рис. 7

Сплав 1 — это чистый элемент никель. Как и ожи­далось, на кривой охлаждения имеется единственная «ступенька» при 14550C — температуре его кристалли­зации. Выделяющееся при затвердевании тепло на не­которое время тормозит процесс охлаждения. Он про­должается лишь после затвердевания всего образца.

Сплав 2 содержит уже небольшое количество меди. «Ступенька-остановка» исчезает, а вместо нее появ­ляются два «излома», совпадающие по времени с на­чалом и концом затвердевания.

Аналогично интерпретируются и все остальные кривые охлаждения. Перенося, как показано на рис. 7, все данные о фазовом переходе на график в координатах температура — концентрация, мы завер­шаем построение фазовой диаграммы сплава. В пол­ном соответствии с правилом фаз для сплава любой концентрации (исключая чистые компоненты) наблю­дается определенный интервал температур, в котором он затвердевает (или плавится). Например, в сплаве с концентрацией С фазовое превращение происходит в температурном интервале от Ti до T2, При этом сплав находится в двухфазном состоянии, как кусоч­ки льда, плавающие в воде.

Изображенная на рис. 7 диаграмма (типа «сига­ры») представляет собой достаточно распространен­ный случай. Помимо медно-никелевых в соответствии с подобными «сигарами» затвердевают и плавятся сплавы систем железо — никель, висмут —сурьма, золото — серебро и многих других. Существуют и иные типы фазовых диаграмм. Их построение очень важно для решения ряда металлургических и метал­ловедческих задач, и в этом нам еще предстоит убе­диться. Но порой знание диаграмм может пригодить­ся даже в археологии…

Секрет этрусков

По крупицам собирают археологи и ис­торики сведения об этрусках, таинственном древнем народе, некогда заселявшем большую часть современ­ной Италии. Примерно к середине I тысячелетия до нашей эры их цивилизация достигла культурного и экономического расцвета. Грозную силу представляли собой этрусские города и в военном отношении. Но после изгнания в 510 году до нашей эры этрусских царей из Рима у этрусков в Италии появились в лице римлян опасные соперники. Длительные войны закончились через несколько столетий покорением этрусков, и в начале нашей эры они полностью рас­творились в пестрой массе народов Римской империи. От них остались лишь немногочисленные надписи на до сих пор не расшифрованном окончательно языке, отдельные памятники выдающегося развития ремесел и искусств и скупые сообщения римских авторов…

При раскопках городов Этрурии археологам уда­лось найтн самые разнообразные свидетельства вы­сокого уровня развития угасшей цивилизации. Всеоб­щее восхищение вызвали ювелирные изделия этру­сков, и среди них в первую очередь — так называемые гранулированные украшения, подлинные шедевры бе­зымянных мастеров. Они представляют собой медные пластинки со сложными узорами, выложенными тыся­чами мельчайших (диаметром около 0,2 мм) золотых шариков. Ни у одного другого народа гранулирован­ные изделия не достигали такой высокой степени со­вершенства.

К концу I тысячелетия нашей эры искусство изго­товления подобных украшений было окончательно забыто. Только в XIX веке исследователи предприня­ли попытки восстановить секреты техники, но безре­зультатно. Долгое время никто не мог объяснить, как можно прикрепить золотую крупинку к медному основанию, не расплавляя ее при этом. Если бы кру­пинка расплавилась, капля жидкого золота растек­лась бы по меди. При охлаждении растекшаяся капля приварилась бы «намертво», но был бы утрачен изы­сканный внешний вид изделия.

Секрет был раскрыт только в 1933 году. Техноло­гия оказалась далеко не простой. Прежде чем ее объ­яснить, мы расскажем об одном довольно известном опыте. Его в 1896 году выполнил английский метал­лург Робертс-Остен. Он прижал друг к другу золотой диск и свинцовый цилиндр и поместил их на 10 дней в печь, где поддерживалась температура 200 °С. Когда печь открыли, разъединить диск и цилиндр оказалось невозможно. За счет диффузии золото и свинец бук­вально «проросли» друг в друга.

Это был первый случай наблюдения диффузии в твердом состоянии. А в жидкостях или газах ее на­блюдать намного легче. Вспомните хотя бы, как кап­ля чернил расплывается в воде или как в комнату проникают вкусные запахи с кухни. При контакте разных веществ тепловое движение атомов приводит к их перемешиванию. Этим и объясняется диффузия. Чем выше температура, тем более «оживленным» становится атомное движение и тем проще наблюдать результаты диффузии. В дальнейшем мы расскажем о диффузионных процессах более подробно, но пока нам будет достаточно и этой информации.

Сегодня технология соединения деталей по схеме Робертса-Остена хорошо известна и носит название диффузионной сварки. Так, может быть, именно этим способом этруски крепили золотые шарики к меди?

От этого предположения приходится сразу отка­заться. Во-первых, диффузионную сварку следует про­изводить в вакууме, так как иначе содержащийся в воздухе кислород успеет окислить медь и изделие покроется слоем черной окалины. Во-вторых, диффу­зионная сварка требует довольно долгой выдержки при высоких температурах [8])’. Обеспечить выполне­ние всех этих условий этруски не могли.

К раскрытию этрусского секрета следует подхо­дить с другого конца. Надо найти в справочнике фа­зовую диаграмму систем медь — золото.

Она перед вами (рис. 8). Как видите, это отнюдь не «сигара». Но именно ее характерный вид позволил

Этрускам создавать свои ше­девры! Впрочем, сначала убе­дитесь, что правилу фаз эта диаграмма не противоречит: между однофазными областя­ми в сравнительно узком ин­тервале температур простира­ется двухфазная область рав­новесия жидких и твердых сплавов. При одной-единствен – ной концентрации эта область «стягивается» в точку. Мы не будем этого строго доказывать, но такое правилом фаз не запрещается.

А теперь: внимательно посмотрите на диаграмму, вспомните опыт Робертса-Остена, напрягите фанта­зию и…, может быть, вы сами отыщете ключ к тай­нам древних?

Наиболее правдоподобной представляется такая версия этрусской технологии: сначала узор из золо­тых шариков приклеивали к листу папируса, который затем накладывался на медную основу шариками вниз. Затем драгоценный «бутерброд» постепенно на­гревали. Во время нагрева успевала произойти не­значительная диффузия золота в медь и наоборот.

IjO ZO 40 60^80 100 П ^ .Aa

Аи7%(по массе) Рис. 8

В результате в чрезвычайно узкой зоне контакта шарика и пластины образовывался медно-золотой сплав.

Температура плавления чистого золота равна 1063 °С, чистой меди 1083 °С, а сплавы золота с медью плавятся при более низких температурах. Напри­мер, сплав, состоящий из равного количества атомов золота и меди, плавится уже при 910°С. Именно это обстоятельство является ключевым для разгадки сек­рета ювелиров Этрурии. Они повышали температуру до тех пор, пока расплавлялась только зона образо­вавшегося сплава, а сами золото и медь оставались в твердом состоянии. При последующем охлаждении расплав затвердевал, и золотая крупинка, практиче­ски не потеряв своей сферической формы, приварива­лась к основанию из меди. Этот процесс одновременно происходил во всех крупинках, и весь приклеенный к папирусу узор оказывался как бы «сведенным» (по аналогии с переводными картинками) на медь. Папирус при столь высокой температуре сгорал дот­ла, и изделие было готово. Медь окислиться не успе­вала, так как процесс происходил достаточно быстро и значительную часть кислорода принимал на себя при сгорании папирус.

Древние ювелирные секреты и сегодня разгаданы не до конца. Остается неясным, например, как этру­скам удавалось изготовлять мельчайшие золотые ша­рики. Но более всего удивляет то, как вообще сумели мастера далекого прошлого выработать столь изощ­ренную технологию. Какой удивительной комбинации случая, опыта и прозрения обязаны этруски своему открытию? Может быть, это когда-нибудь станет из­вестным, а пока мы можем лишь воздать должное исчезнувшему народу и повторить слова древнерим-

Ского историка Гая Саллюстия: «Чего люди сумеют добиться, возделывая землю, плавя металл и возводя строения, зависит от их духовной силы».

Термодинамика и геометрия

Археологическое отступление позволило нам продемонстрировать некоторые возможности, которые бткрывает знание фазовых диаграмм. Но умеем ли мы извлекать из диаграмм всю содержа­щуюся в них информацию?

Вернемся к простой «сигаре» (рис. 9). На ней две линии указывают начало и конец затвердевания спла­ва данного состава при пони­жении его температуры (или А начало и конец плавления при повышении). В области между этими линиями сплав находится в двухфазном со­стоянии. И по диаграмме мы можем определить состав каж-

Фазовое состояние сплава в двухфазной области полио­стью определяется тремя пара­метрами[9]): температурой T и концентрацией одного из компонентов в жид­кой Сж и твердой Ct фазе. Однако согласно пра­вилу фаз число степеней свободы двойного сплава при двухфазном равновесии должно быть равно 1. Yo есть лишь один из этих трех параметров является независимым, а остальные вынуждены под него «под­страиваться». Выберем за независимый параметр !температуру. Тогда

Сж — Сж (T) > Ct = C1 (T).

Мы пришли к выводу исключительной важности. Состав жидкой и твердой фаз, которые находятся в равновесии, зависит только от температуры и не за­висит от общего состава сплава.

При температуре Г0 все сплавы с общей концен­трацией от Сж до Ct (смысл таких обозначений ста­нет ясным чуть позднее) находятся в двухфазном состоянии. В соответствии со сделанными нами выво­дами состав жидкой и твердой фаз всех этих сплавов будет одним и тем же. Но состав жидкой фазы сплава концентрации Сж при температуре T0 нам известен: поскольку сплав этой концентрации только начинает затвердевать при Tо, состав жидкой фазы совпадает с. общим составом сплава и равен Сж. Следовательно, состав жидкой фазы всех двухфазных при этой тем­пературе сплавов равен Сж! Совершенно аналогично состав твердой фазы любого из этих сплавов будет равен Ст.

Может быть, на первый взгляд объяснение этого правила кажется чересчур запутанным. Но посмот­рите, насколько проста его геометрическая интерпре­тация.

, Чтобы узнать состав жидкой и твердой фаз сплава общей концентрации C0 при температуре Tо, следует провести на диаграмме горизонтальную линию, отве­чающую этой температуре. Ее точки пересечения с линиями самой диаграммы PhQh дадут ответ на интересующий нас вопрос.

Но и этим не исчерпываются возможности диа­граммы. По ней очень просто определить не только состав каждой из фаз сплава, но и их относительное количество. Обозначим долю содержания жидкой фазы через I, а твердой — через s. Тогда, естественно,

S / = 1.

Если обозначить общее количество вещества в сплаве через М, то общее содержание компонента В будет равно CoM. Оно складывается из СЖ1М компонента В в жидкой фазе и CTsM— в твердой. Это дает нам еще одно простое уравнение

CJM + CTsM = C0M => CJ + CTs = C0.

Решая два уравнения относительно s и /, получаем

^_________________ CT с„ ^__________ C0 Сж

Ct C1K Ct Сж

Эти соотношения также очень легко представить гео­метрически:

…… I=OQfPQ, S = POtPQ

Последнее равен­ство выражает так называемое правило рычага, которое сра­зу дает возможность, пользуясь диаграм­мой, оценить отно­сительное количест­во обеих фаз при данной температуре по общей концентра­ции сплава.

Всего две линии диаграммы (рис. 9), которые раз и на­всегда строятся пу­тем сравнительно простого экспери­мента, предоставляют исчерпывающую информацию о плавлении сплавов данной системы. Особенно удобной оказывается геометрическая интерпретация этой информации.

Роль геометрии важна и при решении ряда других термодинамических задач. Отмечая это, Н. С. Курна – ков писал, что по стечению обстоятельств одного из основателей учения о равновесии крупного француз­ского химика Клода Бертолле связывала многолет­няя дружба и сотрудничество с выдающимся фран­цузским геометром Гаспаром Монжем. В частности, именно эти два ученых руководили организацией научных работ в знаменитой экспедиции молодого ге­нерала Бонапарта в Египет. Процитируем Н. С. Кур­накова: «Дружбу Моижа и Бертолле можно считать символической. В лице их геометрия и химия*) заключили союз, который оказался плодотворным и с течением времени все более крепнет и разви­вается»,

") Наука о фазовых равновесиях считалась частью химии.